Hubungan Konvers, Invers, dan Kontraposisi Terhadap Implikasi

Dari pernyataan yang berupa implikasi p ⇒ q dapat dibuat pernyataan implikasi baru sbagai brikut:
(a) Pernyataan q ⇒ p disebut Konvers dari p ⇒ q
(b) Pernyataan ~p ⇒ ~q disebut Invers dari p ⇒ q
(c) Pernyataan ~q ⇒ ~p disebut Kontraposisi dari p ⇒ q.


Singkatnya:
Jika terdapat implikasi : p → q,
Konvers : q → p

Invers : ~p → ~q
Kontraposisi : ~q → ~p

Untuk melihat hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers, invers dan kontraposisi perhatikanlah tabel kebenaran berikut :

p	q	Implikasi p ⇒ q	Konvers q ⇒ p	Invers ~p ⇒ ~q	Kontraposisi ~q ⇒ ~p
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	B	S
S	B	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B

Dari tabel di atas ternyata:
Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya atau ditulis

p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p

dengan kata lain jika implikasi bernilai benar maka kontraposi-sinya juga bernilai benar atau jika implikasi bernilai salah maka kontraposisinya juga bernilai salah.

Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya atau ditulis

q ⇒ p ≡ ~p ⇒ ~q .

Contoh:
Tentukanlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
(1) Jika harga bahan bakar minyak naik maka harga beras naik.
(2) Jika x > 6 maka x² ≥ 36

Penyelesaian:

Soal (1)
Konvers : Jika harga beras naik maka harga bahan bakar minyak naik.
Invers : Jika harga bahan bakar minyak tidak naik maka harga beras tidak naik.
Kontraposisi: Jika harga beras tidak naik maka harga bahan bakar minyak tidak naik.

Soal (2)
Tulis
p: jika x² &re; 36
q: x > 6.
Jadi ~p: x² < 36
~q: x ≤ 6.
Jadi konvers p ⇒ q ≡ q ⇒ p ≡ “jika x > 6 maka x² &re; 36”,

invers p ⇒ q ≡ ~p ⇒ ~q ≡ ”jika x² < 36 maka x ≤ 6”,

kontraposisi p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p ≡ “jika x ≤ 6 maka x² < 36”.

Soal (3)
Jika (p ∧ q)~ ⇒ r
Jelas konvers (p ∧ q)~ ⇒ r ≡ r ⇒ (p ∧ q),~
invers (p ∧ q)~ ⇒ r ≡ ~(p ∧ q)~ ⇒  r~ ≡ p~( ∨ q) ⇒  r,~
kontraposisi (p ∧ q)~ ⇒ r ≡  r~ ⇒ ~(p ∧ q)~ ≡  r~ ⇒ (~p ∨ q).



Tugas 4

(Soal nomor 1)
Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi
berikut ini:

(a) (p ∧ q) ⇒ r
(b) p ⇒ (q ∧ r)
(c) ~p ⇒ (q ∧ ~r)
(d) (p ∨ ~q) ⇒ (q ∧ r)
(e) (~q ∧ ~r) ⇒ (~p ∨ q)
(f) (q ∨ ~r) ⇒ (p ∧ r)

(Soal nomor 2)
Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi pernyataan:

(a) Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.
(b) Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.
(c) Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat.
(d) Jika x > 10 maka x² > 100
(e) Jika x² – 16 = 0 , maka x = 4 atau x = – 4.
(f) Jika sin x = 90° – cos x, maka x merupakan sudut lancip.
(g) Jika tan x = -1, maka x = 135° dan x = 315°



Pengertian Ke 2
A. IMPLIKASI
1. Definisi
Implikasi atau pernyataan bersyarat atau kondisional adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk jika p maka q.
Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab dan bagian “maka q” dinamakan kesimpulan atau akibat.
2. Notasi
Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.
Dibaca :
a. Jika p maka q
b. p berimplikasi q
c. p hanya jika q
d. q jika p
e. q asal saja p
Dalam implikasi p → q, p disebut anteseden (hipotesis) dan q disebut konsekuen (konklusi).
3. Tabel Kebenaran
“definisi : implikasi p → q bernilai benar jika anteseden salah atau konsekuen benar”.
p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B
4. Contoh
Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut.
a. jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima.
b. jika 9 adalah bilangan genap, maka Surabaya ibukota jawa timur.
Jawab :
a. jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima
B B
Implikasi ini bernilai benar, karena alasan benar dan kesimpulan benar.
b. jika 9 adalah bilangan genap, maka Surabaya ibukota jawa timur
S B
Implikasi ini bernilai benar, karena alasan salah dan kesimpulan benar.
B. BIIMPLIKASI
1. Definisi
Biimplikasi atau implikasi dwi arah adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk p jika dan hanya jika q.
2. Notasi
Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.
Dibaca :
a. p jika dan hanya jika q
b. p syarat perlu dan cukup bagi q
c. q syarat perlu dan cukup bagi p
3. Tabel Kebenaran
“definisi : pernyataan bikondisional bernilai benar hanya jika komponennya bernilai sama”.
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
4. Contoh
Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut.
a. (64)⅓ = 4, jika dan hanya 64log 4 = ⅓
b. x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real jika dan hanya jika x2 – 4x = 0 tidak mempunyai akar real.
Jawab :
a. (64)⅓ = 4, jika dan hanya jika 64log 4 = ⅓
B B
Merupakan biimplikasi yang benar.
b. x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real jika dan hanya jika x2 – 4x = 0 tidak mempunyai akar real.
B S
Merupakan biimplikasi yang bernilai salah.
C. KONVERS,INVERS DAN KONTRAPOSISI
1. Definisi
“Konvers dari implikasi p → q adalah q → p”
“Invers dari implikasi p → q adalah ~p → ~q”
“Kontraposisi dari implikasi p → q adalah ~q → ~p”
2. Hubungan antara implikasi, konvers, invers dan kontraposisi
3. Tabel Kebenaran
p q p → q
Implikasi q → p
Konvers ~ p → ~ q
Invers ~ q → ~ p
Kontraposisi
B B B B B B
B S S B B S
S B B S S B
S S B B B B
4. Contoh
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan implikasi berikut.
a. jika harga naik, maka permintaan turun
b. jika x = 5, maka x2 = 25
Jawab :
a. jika harga naik, maka permintaan turun
- Konversnya : jika permintaan turun, maka harga naik
- Inversnya : jika harga tidak naik, maka permintaan tidak turun
- Kontraposisi : jika permintaan tidak turun,maka harga tidak naik.
b. jika x = 5, maka x2 = 25
- Konversnya : jika x2 = 25, maka x = 5
- Inversnya : jika x ≠ 5, maka x2 ≠ 25
- Kontraposisi : jika x2 ≠ 25 ,maka x ≠ 5.