Hubungan Konvers, Invers, dan Kontraposisi Terhadap Implikasi
Dari pernyataan yang berupa
implikasi p ⇒
q dapat dibuat pernyataan implikasi baru sbagai brikut:
(a) Pernyataan q ⇒
p disebut Konvers dari p ⇒
q
(b) Pernyataan ~p ⇒
~q disebut Invers dari p ⇒
q
(c) Pernyataan ~q ⇒
~p disebut Kontraposisi dari p ⇒
q.
Singkatnya:
Jika terdapat implikasi : p → q,
Konvers : q → p
Invers : ~p → ~q
Kontraposisi : ~q → ~p
Untuk melihat hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers, invers dan
kontraposisi perhatikanlah tabel kebenaran berikut :
p
|
q
|
Implikasi
p
⇒ q
|
Konvers
q
⇒ p
|
Invers
~p
⇒ ~q
|
Kontraposisi
~q
⇒ ~p
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Dari tabel di atas ternyata:
Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya atau ditulis
p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p
dengan kata lain jika implikasi bernilai benar maka kontraposi-sinya juga
bernilai benar atau jika implikasi bernilai salah maka kontraposisinya juga
bernilai salah.
Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya atau ditulis
q ⇒ p ≡ ~p ⇒ ~q .
Contoh:
Tentukanlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
(1) Jika harga bahan bakar minyak naik maka harga beras naik.
(2) Jika x > 6 maka x² ≥ 36
Penyelesaian:
Soal (1)
Konvers : Jika harga beras naik maka harga bahan bakar minyak naik.
Invers : Jika harga bahan bakar minyak tidak naik maka harga beras tidak naik.
Kontraposisi: Jika harga beras tidak naik maka harga bahan bakar minyak tidak
naik.
Soal (2)
Tulis
p: jika x² &re; 36
q: x > 6.
Jadi ~p: x² < 36
~q: x ≤ 6.
Jadi konvers p ⇒
q ≡ q ⇒
p ≡ “jika x > 6 maka x² &re; 36”,
invers p ⇒
q ≡ ~p ⇒
~q ≡ ”jika x² < 36 maka x ≤ 6”,
kontraposisi p ⇒
q ≡ ~q ⇒
~p ≡ “jika x ≤ 6 maka x² < 36”.
Soal (3)
Jika (p ∧
q)~ ⇒ r
Jelas konvers (p ∧
q)~ ⇒ r ≡ r ⇒
(p ∧ q),~
invers (p ∧
q)~ ⇒ r ≡ ~(p ∧
q)~ ⇒ r~ ≡ p~(
∨ q) ⇒ r,~
kontraposisi (p ∧
q)~ ⇒ r ≡ r~ ⇒
~(p ∧ q)~ ≡ r~ ⇒
(~p ∨ q).
Tugas 4
(Soal nomor 1)
Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi
berikut ini:
(a) (p ∧
q) ⇒ r
(b) p ⇒
(q ∧ r)
(c) ~p ⇒
(q ∧ ~r)
(d) (p ∨
~q) ⇒ (q ∧ r)
(e) (~q ∧
~r) ⇒ (~p ∨ q)
(f) (q ∨
~r) ⇒ (p ∧ r)
(Soal nomor 2)
Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi pernyataan:
(a) Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.
(b) Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.
(c) Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat.
(d) Jika x > 10 maka x² > 100
(e) Jika x² – 16 = 0 , maka x = 4 atau x = – 4.
(f) Jika sin x = 90° – cos x, maka x merupakan sudut lancip.
(g) Jika tan x = -1, maka x = 135° dan x = 315°
Pengertian
Ke 2
A. IMPLIKASI
1. Definisi
Implikasi atau pernyataan bersyarat atau kondisional adalah pernyataan
majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk jika p maka
q.
Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab dan bagian “maka q” dinamakan
kesimpulan atau akibat.
2. Notasi
Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.
Dibaca :
a. Jika p maka q
b. p berimplikasi q
c. p hanya jika q
d. q jika p
e. q asal saja p
Dalam implikasi p → q, p disebut anteseden (hipotesis) dan q disebut
konsekuen (konklusi).
3. Tabel Kebenaran
“definisi : implikasi p → q bernilai benar jika anteseden salah atau
konsekuen benar”.
p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B
4. Contoh
Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut.
a. jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima.
b. jika 9 adalah bilangan genap, maka Surabaya ibukota jawa timur.
Jawab :
a. jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima
B B
Implikasi ini bernilai benar, karena alasan benar dan kesimpulan benar.
b. jika 9 adalah bilangan genap, maka Surabaya ibukota jawa timur
S B
Implikasi ini bernilai benar, karena alasan salah dan kesimpulan benar.
B. BIIMPLIKASI
1. Definisi
Biimplikasi atau implikasi dwi arah adalah pernyataan majemuk yang disusun
dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk p jika dan hanya jika q.
2. Notasi
Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dapat ditulis dengan lambang sebagai
berikut.
Dibaca :
a. p jika dan hanya jika q
b. p syarat perlu dan cukup bagi q
c. q syarat perlu dan cukup bagi p
3. Tabel Kebenaran
“definisi : pernyataan bikondisional bernilai benar hanya jika komponennya
bernilai sama”.
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
4. Contoh
Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut.
a. (64)⅓ = 4, jika dan hanya 64log 4 = ⅓
b. x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real jika dan hanya jika x2 – 4x = 0 tidak
mempunyai akar real.
Jawab :
a. (64)⅓ = 4, jika dan hanya jika 64log 4 = ⅓
B B
Merupakan biimplikasi yang benar.
b. x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real jika dan hanya jika x2 – 4x = 0 tidak
mempunyai akar real.
B S
Merupakan biimplikasi yang bernilai salah.
C. KONVERS,INVERS DAN KONTRAPOSISI
1. Definisi
“Konvers dari implikasi p → q adalah q → p”
“Invers dari implikasi p → q adalah ~p → ~q”
“Kontraposisi dari implikasi p → q adalah ~q → ~p”
2. Hubungan antara implikasi, konvers, invers dan kontraposisi
3. Tabel Kebenaran
p q p → q
Implikasi q → p
Konvers ~ p → ~ q
Invers ~ q → ~ p
Kontraposisi
B B B B B B
B S S B B S
S B B S S B
S S B B B B
4. Contoh
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan implikasi berikut.
a. jika harga naik, maka permintaan turun
b. jika x = 5, maka x2 = 25
Jawab :
a. jika harga naik, maka permintaan turun
- Konversnya : jika permintaan turun, maka harga naik
- Inversnya : jika harga tidak naik, maka permintaan tidak turun
- Kontraposisi : jika permintaan tidak turun,maka harga tidak naik.
b. jika x = 5, maka x2 = 25
- Konversnya : jika x2 = 25, maka x = 5
- Inversnya : jika x ≠ 5, maka x2 ≠ 25
- Kontraposisi : jika x2 ≠ 25 ,maka x ≠ 5.